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von Chahira Mourad und Tim Varelmann
An einem kühlen Dezemberabend am Nordpol herrscht in Santas Werkstatt reges Treiben. Die Elfen arbeiten unermüdlich daran, jedes Geschenk zu verpacken und für die Lieferung vorzubereiten. Doch Santa steht vor einer logistischen Herausforderung: Sein Vorrat an Geschenkpapierrollen geht bedrohlich zur Neige. Da Heiligabend in greifbare Nähe rückt, muss Santa den effizientesten Weg finden, alle Geschenke zu verpacken, ohne unnötige Kosten zu verursachen oder Material zu verschwenden. Aber wie kann er seine Ressourcen optimal einsetzen?
Das Zuschnittproblem ist ein bekanntes Optimierungsproblem. Ziel ist es, den Ressourceneinsatz zu optimieren, indem Abfälle minimiert und die Effizienz maximiert werden. Es beantwortet die Frage: Wie können große Materialeinheiten in kleinere Stücke unterteilt werden, um die Nachfrage zu decken und gleichzeitig die Anzahl der benötigten Rohstoffe zu minimieren?
Dieses Problem wird beispielsweise in der Fertigung und der Textilbranche eingesetzt, in denen die Minimierung von Abfällen entscheidend für die Kosteneffizienz ist. Beispielsweise könnte eine Fabrik große Stahlplatten in Maschinenteile zuschneiden oder Stoffrollen in Sektionen für Kleidungsstücke unterteilen. Das Ziel bleibt stets dasselbe: die Nachfrage mit möglichst wenig Materialeinsatz zu erfüllen.
In Santas Fall sind die Geschenkpapierrollen die Rohmaterialien, und die Geschenke repräsentieren die Nachfrage. Jeder Geschenktyp – von Postkarten bis zu XXL-Geschenken – erfordert eine spezifische Länge an Geschenkpapier. Santas Herausforderung besteht darin, die Anzahl der verwendeten Rollen zu minimieren und dennoch jedes Geschenk zu verpacken. Alle Rollen haben dieselbe Breite, und wir nehmen an, dass die Elfen geschickt genug sind, um die sieben Geschenktypen mit dieser Breite zu verpacken. Daher konzentrieren wir uns nur auf die Optimierung der benötigten Zuschnittlängen.
Santas größte Herausforderung sind die XXL-Geschenke, die jeweils 15 Meter Geschenkpapier benötigen. Das verbraucht fast eine gesamte Rolle und lässt kaum Platz für andere Geschenke. Die Elfen betrachten die XXL-Geschenke als die Bedrohung in Santas ansonsten beherrschbarem Verpackungsproblem. Kann Santa dennoch alle Geschenke einpacken, ohne die vorhandenen Rollen zu überschreiten?
Hier ist eine detaillierte Übersicht über die benötigten Längen:
Mit diesen Daten kann Santa die Einschränkungen und Möglichkeiten besser verstehen, um seine Ressourcen zu optimieren. Er hat maximal 20 Rollen zur Verfügung!
Um dieses Problem zu lösen, übersetzt Santa die Herausforderung in ein mathematisches Modell, bei dem jede Einschränkung und Variable die Realität seiner Werkstatt widerspiegelt. Santa verwendet die Python-Bibliothek Pyomo, um das Problem zu formulieren und zu lösen.
Bevor Santa die Entscheidungsvariablen, das Ziel und die Nebenbedingungen definiert, basiert sein Modell auf den folgenden Daten:
Diese Daten bilden die Grundlage des Modells und stellen sicher, dass alle Einschränkungen und Ziele die Realität von Santas Verpackungsproblem widerspiegeln. Der vollständige Code für Santas Optimierungsproblem ist auf meiner GitLab-Seite verfügbar.
Das Ziel ist, die Gesamtanzahl der verwendeten Rollen zu minimieren und die Ressourcen effizient zu nutzen.
Dieses strukturierte Vorgehen gewährleistet, dass Santas Ressourcen effizient genutzt werden, während alle Einschränkungen eingehalten werden.
Nach der Formulierung des Modells verwendet Santa einen Optimierungslöser, um die beste Lösung zu finden. Dies verdeutlicht zentrale Konzepte der Optimierung:
Ein Problem ist unlösbar, wenn keine Lösung alle Einschränkungen erfüllt. Beispielsweise, wenn Santa nicht genügend Rollen hat, um alle Geschenke zu verpacken, oder wenn ein einzelnes XXL-Geschenk mehr Papier benötigt, als eine Rolle liefern kann, wird der Löser das Problem als unlösbar kennzeichnen. In solchen Fällen muss Santa entweder zusätzliche Rollen beschaffen oder die Anforderungen anpassen, um das Problem lösbar zu machen.
Eine machbare Lösung erfüllt alle Einschränkungen, garantiert jedoch nicht die Effizienz. Beispielsweise ist es möglich, 10 Rollen zu verwenden, obwohl alle Geschenke auch mit nur 7 Rollen verpackt werden könnten. Das ist machbar, aber nicht optimal.
Eine optimale Lösung minimiert den Ressourceneinsatz bei Einhaltung aller Einschränkungen. Für Santa bedeutet dies, die kleinste Anzahl an Rollen zu bestimmen, die notwendig ist, um alle Geschenke zu verpacken. Der Löser könnte zum Beispiel das Ergebnis liefern: "Santa benötigt mindestens 7 Geschenkpapierrollen, um die Nachfrage zu erfüllen." Diese optimale Lösung gewährleistet sowohl Effizienz als auch Nachhaltigkeit.
In Santas Fall benötigt er letztendlich 4 Rollen, um alle Geschenke zu verpacken. Der Löser zeigte ihm genau, wie die Rollen zugeschnitten werden sollten, um den Abfall und die Anzahl der benötigten Rollen zu minimieren.
Mit der Hilfe mathematischer Optimierung konnte Santas Werkstatt die Verpackungskrise erfolgreich bewältigen. Das Zuschnittproblem, das häufig in der Industrie Anwendung findet, erwies sich als entscheidend für Santas logistische Weihnachtsherausforderung.
Dieses Beispiel zeigt, wie mathematische Modelle reale Herausforderungen bewältigen können – ob in einer Fabrik oder am Nordpol. Das nächste Mal, wenn du Geschenke verpackst oder Materialien zuschneidest, denk an Santa und seine Optimierungselfen. Mit ein wenig Mathematik und einer Prise Weihnachtsstimmung findest auch du die effizienteste Lösung!
Im Gespräch mit interessierten Leuten sage ich häufig, dass Computer mit Optimierung nicht-emotionale Entscheidungen treffen können. In meinen Projekten sind das meist Planungen: Von Produktion, Energiegewinnung oder Transporten. Weniger alltägliche Entscheidung sind in diesem magisches Beispiel.
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